LA HISTORIA DE LOS CRISTALES

Esbozada una imagen de la materia, desde los cuerpos macroscópicos hasta las partículas elementales, vamos a aplicar nuestras ideas para entender a los sólidos y en particular a los sólidos cristalinos, y poder contestar así las preguntas que hicimos al principio. Para ello formularemos la teoría atómica del sólido, con la que se trata de entender las propiedades de los cristales en base a las de los átomos que lo forman y a la manera en que ellos interactúan, aplicando siempre la mecánica cuántica. Otra vez tenemos todos los elementos de la teoría de un sistema físico: la descripción de los subsistemas, la interacción entre éstos y las leyes de movimiento. De ahí extraeremos conclusiones que luego habrán de verificarse experimentalmente, con la consecuente retroalimentación a la teoría. Esta es la espiral sin fin de la física. Un sólido cristalino está formado por un arreglo ordenado de átomos. Este arreglo o red cristalina puede generarse repitiendo indefinidamente un arreglo elemental, llamado celda unidad. De esta forma se obtiene una estructura periódica que permanece invariante frente a unas ciertas translaciones, como las grecas de Mitla.

Podemos imaginarnos una infinidad de celdas unidad y, por tanto, de grecas o redes cristalinas resultantes. Sin embargo, las matemáticas han puesto cortapisas a nuestra imaginación pues el requisito de invariancia translacional es fuerte. Por ejemplo, las celdas unidad no pueden ser de forma pentagonal, ya que con pentágonos no es posible cubrir un plano totalmente sin dejar resquicios. Los geómetras han encontrado que sólo unos cuantos cientos de estructuras cristalinas diferentes son posibles y los han clasificado minuciosamente. Aunque ya los griegos habían hecho observaciones sobre los cristales, su estudio se inicia en el siglo XVII, por Stensen y Guglielmini, llegándose a encontrar en 1772 una ley enunciada por Romé de l'Isle: en todos los cristales de la misma substancia, los ángulos entre caras correspondientes tienen el mismo valor (cuando se les mide a igual temperatura). De l'Isle no logró proponer un modelo que diera cuenta de su observación y fue René JustHauy, al dejar caer un cristal de calcita y observar las caras idénticas de los fragmentos, quien sugirió la existencia de la celda unidad a la que llamó molécula integrante. Él empleaba sólo tres tipos distintos de moléculas integrantes pero, como ya lo mencionamos, se tienen muchos más como demostró Bravais el siglo pasado.

TEORÍA ATÓMICA DE LOS CRISTALES

Desde el punto de vista físico, cuál de esas estructuras cristalinas ha de tomar el sólido depende de varios factores, siendo los principales el tamaño de los átomos que lo forman y el tipo de fuerzas que actúa entre ellos. En función de estas últimas, y en completa analogía con el caso molecular, se clasifican los cristales en iónicos, covalentes o metálicos. Veamos algunas de sus características. Los cristales iónicos se enlazan con fuerzas interatómicas del tipo de Coulomb. Cuando un átomo con un electrón fuera de capa cerrada se encuentra con otro que requiere un electrón para completar la capa, el primero cede al electrón tan gustosamente como el otro lo atrapa. Pero entonces se forman dos iones, uno positivo porque cedió una carga negativa y el otro negativo porque adquirió un electrón adicional. Por lo tanto, se atraen eléctricamente con una fuerza omnidireccional, para la cual no existe dirección privilegiada. La descripción que hemos hecho se aplica a los átomos alcalinos frente a los halógenos. De hecho, los cristales iónicos por excelencia son los halogenuros alcalinos, siendo el más conocido el cloruro de sodio, la sal común.

A diferencia de los cristales iónicos, en que los electrones se reparten en los iones, en los cristales covalentes los electrones se comparten. La nube electrónica se dispone de manera tal que los iones positivos son atraídos hacia los sitios en que aquélla se localiza principalmente. Estos sitios preferenciales no son cualesquiera, por lo que el enlace covalente se da sólo en ciertas direcciones. Estos cristales covalentes surgen de elementos como el germanio, el silicio y el carbono. Por ejemplo, el carbono tiene cuatro electrones en su capa más externa, que se llena con ocho. Por lo tanto, al átomo de este elemento le da igual, por decirlo así, ceder sus electrones o aceptar otro número igual para llenar su capa y llegar a un estado de menor energía. Entonces, decide compartir sus cuatro electrones dando origen con un enlace covalente a un cristal tetraédrico.

Los cristales metálicos, finalmente, se dan cuando los átomos que los forman tienen electrones muy poco amarrados que con poca energía se liberan de su ión y prefieren deambular por todo el cristal. El origen de esta energía y en consecuencia la existencia del enlace metálico, se puede explicar con base en la mecánica cuántica y su principio de incertidumbre. Recordemos que este principio nos dice que no es posible definir al mismo tiempo la posición y la velocidad de una partícula. Entonces, mientras mayores sean las limitaciones espaciales a las cuales se restringe una partícula, también será más grande la incertidumbre en la velocidad, y por tanto la velocidad misma de la partícula. En otros términos, mientras menos intentemos localizar a un electrón, menor podrá ser su velocidad y, por lo tanto, su energía cinética. Esta disminución en energía que obtiene el electrón al moverse en todo el cristal y no dentro de un átomo, puede ser suficiente para compensar la energía de amarre al átomo. Esto sucede con los metales, en los cuales existe un gas de electrones, e inmersos en él los iones positivos. Estos últimos se atraen unos a los otros por medio del gas de electrones.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS CRISTALES

Con la imagen que hemos construido de los tres tipos de cristales, ¿qué propiedades podemos esperar de cada uno? En el metal, pletórico de electrones itinerantes, casi libres, esperaríamos que un campo eléctrico pueda mover fácilmente a esas partículas de valencia no amarradas a ningún átomo en particular. Pero esto es lo que caracteriza a un buen conductor eléctrico. Por otro lado, cuando incide un rayo de luz sobre el cristal metálico, los campos electromagnéticos que forman la onda luminosa hacen oscilar a los electrones libres, que generan al acelerarse una radiación reflejada. Por lo tanto, conducen mal la luz al ser buenos reflectores: en otros términos, son opacos. En cuanto a sus propiedades térmicas, podemos esperar que los metales sean buenos conductores del calor, siendo la explicación microscópica semejante: si se aumenta la temperatura en un cierto punto del metal, esto implica aumentar la energía cinética de los electrones menos amarrados, que luego transportan esa energía a todos los confines del cristal. Por otro lado, el amarre metálico proveniente del gas de electrones es poco direccional. Los átomos de la red pueden desplazarse de su posición de mínima energía sin que ésta se altere mucho, ya que el gas de electrones, por decirlo así, se adapta a las nuevas posiciones de los átomos. Esto implica, claro, que los metales se pueden deformar sin llegar a la fractura. Finalmente, y otra vez debido a que el amarre entre iones procede del muy dúctil y poco exigente gas de electrones, se pueden dar muy diversas mezclas de dos metales, sin que dependan fuertemente de las proporciones relativas de cada elemento. De ahí que exista una gran variedad de aleaciones metálicas.

Pensemos ahora en la imagen nuestra de un cristal covalente, en que los electrones de valencia están ocupados en ligar al cristal. No hay en este caso quien transporte la carga o la energía térmica. Si no hay agentes portadores, la información no llega nunca, o al menos tarda mucho en llegar. Resultado neto, los cristales covalentes no son buenos conductores ni de la electricidad ni térmicos: se pueden usar como aislantes. Como dijimos antes, el enlace covalente es muy direccional y por tanto la posición de equilibrio en la red puede ser delicada. Estos sólidos, en consecuencia, no serán dúctiles sino quebradizos. Finalmente, no existe el mecanismo por el cual se reflejaba la luz al incidir en un metal, y podemos esperar que los cristales covalentes sean buenos conductores de la radiación electromagnética, o sea transparente.

Propiedades muy semejantes podemos esperar de los metales iónicos, si acaso alguna diferencia en sus propiedades ópticas y mecánicas. Por ejemplo, cuando incide sobre un cristal iónico una onda electromagnética cuya longitud es mucho mayor que la distancia típica que separa a los iones, tanto el ion positivo como el negativo sienten un campo eléctrico del mismo signo. Pero responden a él de manera contraria y se puede excitar una vibración en la malla cristalina si la frecuencia es la apropiada. A esta frecuencia, el cristal iónico absorbe la luz y ya no es transparente. ¿Quién no ha sentido frío en la mano al tocar una perilla metálica? ¿Quién no ha visto los destellos primorosos de los diamantes? ¿No sabemos que los mejores espejos están metalizados? ¿O que las extensiones eléctricas son en general de cobre, un metal? Todo ello se explica con los modelos para los sólidos que hemos desarrollado.

EL MODELO DE PARTÍCULAS INDEPENDIENTES

Así como en el átomo generamos un modelo de capas, en que sólo se toma en cuenta la atracción que ejerce el núcleo sobre cada electrón despreciando la interacción entre éstos; en la misma forma que para el núcleo inventamos un modelo de capas en que la parte principal de la interacción entre los nucleones se agota en producir una fuerza promedio; así también para los sólidos se ha desarrollado un modelo de partículas independientes que en este caso se llama la teoría de bandas. E igual que en la física atómica y en la teoría nuclear, este modelo resulta esencial para aplicar las ideas cuánticas al estudio de los cristales. Para entender la teoría de bandas, es conveniente imaginarse que formamos el cristal juntando un átomo tras otro. Por simplicidad supongamos que todos los átomos son iguales. Cuando los átomos están muy alejados unos de los otros, las energías de los electrones son idénticas a las del átomo aislado. Cuando los acercamos, la presencia de un átomo perturba un poco los niveles de energía del otro. En consecuencia, de cada nivel atómico se genera una banda de niveles, tan próximos entre sí que forman un continuo. En alguno de estos niveles de energía estarán los electrones del sólido.

Dependiendo de los átomos de que se trate, las bandas provenientes de niveles atómicos contiguos pueden superponerse o estar separadas por una brecha de energías prohibidas que ningún electrón puede ocupar dentro del sólido. Veamos ahora cómo se usa este modelo para entender, digamos, las propiedades eléctricas de los sólidos. Para ello, apliquémoslo a dos casos particulares: el del sodio sólido y el del diamante. Cuando se forma un cristal de sodio, cada átomo contribuye con un electrón de valencia, que irá a acomodarse en los estados de una banda, buscando aquellos de menor energía. Según el principio de Paulí, en cada estado de la banda caben dos electrones, uno con el espín orientado en dirección contraria al otro, y no más. Pero entonces sólo se llena la mitad de estados de la capa, habiendo muchos estados disponibles, a los cuales puede llegar un electrón si se le excita un poco. Es decir, es fácil comunicarle energía cinética a uno de los electrones de valencia del cristal de sodio. Esto puede lograrse, por ejemplo, con un campo eléctrico. El sodio sólido es un buen conductor, como todos aquellos cristales que presentan en su estado de menor energía una banda semillena.

El caso del diamante es diferente. Ahora las dos bandas inferiores están completamente llenas, pues cada átomo contribuye con un número par de electrones de valencia. Entre los estados ocupados y los vacíos se encuentra una brecha de estados prohibidos, que en este caso particular es de 6 eV, cercana a la mitad de la energía de amarre de un electrón en el átomo de hidrógeno. Habría que comunicarle a un electrón al menos esta energía, para que pudiera moverse libremente. O sea, sujetarlo a un voltaje del orden de 6 voltios. Es muy difícil, y en consecuencia el diamante es un buen aislador. Obviamente, a medida que la brecha sea menor, el material es peor como aislante. Por ejemplo, la brecha en el caso del silicio es de sólo 1.1. eV. Esto se traduce en que el silicio sea mejor conductor que el diamante, aunque no tan bueno como un metal. Por ello se le ha clasificado como semiconductor.

IMPUREZAS Y SEMICONDUCTORES

Un sólido peculiar y muy útil sería aquél en que pudiéramos modificar la conductividad eléctrica a voluntad. De lo que hemos dicho, una manera de lograr esto seria cambiando el ancho de la brecha prohibida, o al menos logrando que haya algunos estados permitidos dentro de ella. Pensemos otra vez en el silicio, con sus cuatro electrones de valencia; de la red, cambiemos un átomo de silicio por otro de arsénico, que tiene cinco electrones en su capa más externa. De estos, cuatro van a intervenir en el enlace covalente con los átomos de silicio vecinos, pero el quinto electrón queda libre y puede ser itinerante en cuanto se le suministre un poco de energía. Este electrón puede transportar carga, con la consecuente modificación en la conductividad eléctrica. Otra posibilidad es, claro, cambiar un átomo de silicio por otro con sólo tres electrones de valencia. Entonces el nuevo átomo roba un electrón a alguno de sus vecinos, generando un agujero. Si este agujero se propaga, también lo hace una carga eléctrica positiva: se modifica, pues, la conductividad.

Lo que hemos hecho con el cristal perfecto de silicio es agregarle un defecto, que en este caso llamamos impureza. Agregando impurezas de manera controlada podemos generar materiales con diversas propiedades. Jugando con semiconductores impuros, como los descritos antes, fue como los físicos desarrollaron el transistor, que tanto ha influido en la vida del hombre contemporáneo. Si al semiconductor de silicio con arsénico le llamamos de tipo n, porque la conducción tiene lugar con una carga negativa, al otro le llamaremos de tipo p, ya que ahora se conduce carga moviendo un agujero, que implica falta de carga negativa o sea carga positiva. Un transistor consta de tres capas de semiconductores de uno y otro tipo. Por ejemplo, se tiene el transistor n-p-n, que consiste en una película muy delgada de semiconductor tipo p, emparedada entre dos capas de semiconductor tipo n. A la región central se le liaba base y a las capas exteriores se les denomina colector y emisor, respectivamente. Cuando el transistor opera, la base y el colector se conectan a la terminal negativa. Esto genera un flujo grande de electrones del emisor hacia la base, que por ser muy delgada no puede impedir el paso de todos los electrones, que entonces se difunden al colector dando lugar a una corriente a la salida de éste.

LA SUPERCONDUCTIVIDAD

Desde los tiempos de Romé de l'Isle hasta la era actual, que bien podría llamarse la de la microelectrónica, han transcurrido tan sólo dos siglos. Creemos ahora entender qué es un sólido y cómo modificar muchas de sus propiedades. En particular, hemos visto que es posible controlar la conductividad de muchos materiales y la consecuencia tecnológica tan impresionante que ello ha tenido. En nuestra discusión, el papel central lo han desempeñado los electrones, sin que aparentemente intervengan, salvo en forma incidental, los iones. Aunque de la estructura cristalina y del tipo de átomo surgen las características de las bandas, nunca hemos aquí considerado que los iones puedan también moverse. Sin embargo, es claro que los iones también se mueven, aunque lo hacen con menor celeridad que los electrones, ya que son miles de veces más pesados. Por otro lado, mientras el sólido permanezca como tal, los iones no podrán deambular por el cristal. Nuestra idea misma de un sólido, a diferencia de un líquido o de un gas, implica que los iones se encuentren limitados a la vecindad de su posición de equilibrio. Los iones, pues, sólo podrán oscilar con respecto a esos puntos de equilibrio. Y cuando la amplitud de la oscilación sea muy grande, comparable a la distancia interatómica en la red, el cristal empezará a fundirse.

Pensemos entonces en un modelo para las vibraciones de la red: los átomos se acoplan a sus vecinos próximos con algún tipo de resorte. Este es un modelo razonable, ya que los iones sólo vibran. Entre todos los posibles movimientos de los iones existen unos, llamados modos normales, en que todas las partículas oscilan con la misma frecuencia. A los cuantos de energía de estos osciladores normales se les conoce técnicamente con el nombre de fonones. Los fonones se parecen mucho a unas partículas microscópicas reales: tienen una velocidad y energías bien definidas; son del tipo bosón. Por otro lado, no pueden existir sin la malla, es decir, fuera del cristal. (Recuérdese que tal vez éste sea el caso de las partículas más fundamentales, los quarks.) Además, comunicando al sólido más energía, los átomos pueden vibrar más, creándose más excitación, o sea más fonones. Por otro lado, enfriando el cristal se logra que haya menos fonones. Por lo tanto, estas excitaciones de la malla se pueden crear y destruir. Los fonones son responsables de muchos fenómenos en los sólidos. En particular de la resistividad eléctrica, pues interfieren con los electrones. Como ya vimos, al bajar la temperatura los átomos se aquietan y desaparecen los fonones. Cuando bajamos mucho la temperatura, ya muy cerca del cero absoluto, puede darse que a traves de los iones un electrón atraiga a otro, venciendo la repulsión eléctrica entre las cargas negativas. Con esto, los dos electrones corren juntos y forman una pareja que, por estar formada de dos fermiones, se comporta como un bosón, que puede moverse sin resistencia a través del cristal. Estamos ahora frente a un superconductor!

Esta explicación de la superconductividad se dio apenas hace veinticinco años, aunque la observación de este fenómeno de bajas temperaturas data de principios de siglo. El estado superconductor es muy diferente al estado normal de los metales. Presenta una resistencia muy baja, no permite que un campo magnético penetre a su interior, en fin, representa toda una fase diferente. Dadas sus posibles aplicaciones: líneas de transmisión sin pérdida, electroimanes que pudieran generar campos magnéticos enormes, una gran cantidad de trabajo teórico y experimental se ha hecho en las últimas décadas para entender a los superconductores. Especial atención se ha puesto en buscar materiales que sean superconductores a la temperatura más alta posible, incluso a la temperatura ambiente. Aunque esto no se ha logrado todavía, si algún día ello fuera accesible, la superconductividad se convertiría sin duda en una de las principales tecnologías al alcance del hombre.


Nombre: Edymar Gonzalez A

C.I:19.502.773

http://www.reddeleducador.com.ar/una_ojeada_a_la_materia.htm

Nuevas tecnologías que surgen del desorden: los materiales AMORFOS

Los sistemas físicos tienden a adoptar el estado de menor energía posible. Así, los sólidos existen porque su formación minimiza la energía de un conjunto de átomos o moléculas que interactúan entre sí. Esta regla fundamental de la naturaleza explica en gran medida la estructura del mundo que nos rodea, lo cual no deja de ser sorprendente si tomamos en cuenta que los núcleos atómicos tienden a repelerse, debido a sus cargas eléctricas del mismo signo.

Desde fines del siglo XIX se pensaba que los electrones, con sus cargas opuestas a los núcleos, deberían tener el papel de estabilizar los sólidos, actuando como el "pegamento" que une a los átomos. Estas ideas fueron desarrolladas posteriormente -usando la mecánica cuántica, que estaba en plena fase de construcción- y ya para 1930 existía una teoría del estado sólido que explicaba diversos fenómenos con gran éxito. Esta teoría partía del hecho de que los materiales sólidos con energías más bajas son siempre cristalinos. Al decir cristalinos, nos referimos a que la estructura total consiste en la repetición, sobre las tres direcciones del espacio, de una "celda" o motivo básico atómico (ver figura 1), de manera análoga a la cual una pared se forma al poner un ladrillo sobre otro.

Figura 1. Estructura típica de un cristal. En el caso que se muestra, los ángulos entre los átomos tienen 120 grados. La estructura resultante consiste en la repetición de celdas formadas por hexágonos regulares de seis átomos. La estructura tiene orden a gran escala.





Mientras la teoría de materiales ganaba respetabilidad, al mismo tiempo iba quedando claro que no todos sus fundamentos era tan sólidos como el sujeto de su estudio. En 1932 ya se sabía con certeza que los vidrios comunes no son cristales, aunque mucha gente al oír la palabra cristal piense en un vidrio. Esto es incorrecto (muchos comerciantes se aprovechan de la confusión, y venden vidrio común en lugar de cuarzo, al cual los esotéricos le atribuyen diversas propiedades curativas). La estructura de un vidrio es desordenada O AMORFA, tal como se muestra en la figura 2, donde puede notarse que existe un orden parecido al de un cristal alrededor de cada átomo y sin embargo la estructura no es periódica (repetitiva) a largo alcance, debido a que los ángulos de los enlaces entre átomos tienen pequeñas variaciones. Estas variaciones se van acumulando a grandes distancias, produciendo desorden estructural.




Figura 2. Sólido desordenado con el mismo tipo de átomos que los representados en la figura anterior, pero con pequeñas variaciones en los ángulos de enlace. Como resultado, los hexágonos se distorsionan y aparecen anillos de átomos pentagonales y heptagonales (anillos en verde). Aunque el sólido presenta orden a pequeña escala, no hay orden de largo alcance.



Después de los primeros estudios en vidrios, se han encontrado muchos tipos de desorden en materiales. Por ejemplo, si tenemos dos tipos diferentes de átomos, éstos pueden ordenarse ENTRE SI de manera aleatoria, aún si las posiciones que ocupan ambos en el espacio forman una red regular. En ese caso se habla de una aleación desordenada. Muchos materiales caen en la categoría de desordenados; entre ellos, los plásticos (los cuales superan en volumen de producción anual a cualquier aleación metálica). Existen otras clases de AMORFOS, como los vidrios metálicos, los vidrios de espín, los vidrios calcogenoides, los cristales líquidos y los semiconductores amorfos. En general, para un físico la palabra "vidrio" denota a una estructura desordenada, formada al enfriar una mezcla líquida, y en este texto usaremos esa convención, aunque existen algunas excepciones que pasaremos por alto. Debemos agregar que en 1984 fue descubierta otra clase de sólidos, cuya estructura no es ni de tipo cristalino ni tampoco desordenada, sino que constituye por sí misma una nueva clase. A estos materiales se les llamó "cuasicristales". Su orden interno es de largo alcance pero casi-periódico, el cual les permite tener simetrías prohibidas para un cristal (la periodicidad de un cristal sólo le permite tener simetrías de rotación de 60, 90, 120 y 180 grados. Los cuasicristales pueden tener simetrías exóticas, como la de invariancia ante rotaciones de 72 grados, CORREPONDIENTES A LA SIMETRIA DE UN PENTAGONO).

Desde tiempos muy remotos, los materiales desordenados han tenido un impacto muy importante en dos áreas claves para el desarrollo de la civilización: la economía y la energía. Un ejemplo muy interesante de ello proviene de la civilización teotihuacana. Este imperio tuvo como pilar fundamental su dominio de las minas de obsidiana, material vítreo de origen volcánico cuyo uso en conflictos bélicos le confería un papel estratégico. Recientemente, las fibras ópticas, hechas a base de los mismos vidrios que descubrieron los fenicios, han producido una revolución en la transmisión de información, debido a su costo, capacidad y mínimas pérdidas energéticas. Algunas personas piensan que esta revolución tecnológica nos conduce a la llamada era de la información. Si alguna moraleja podemos sacar de la fibra óptica, es que no siempre un material tiene que ser novedoso para tener una aplicación tecnológica revolucionaria; a veces basta con aplicar de manera ingeniosa algún principio físico. Por esta razón, es de vital importancia entender los mecanismos físicos y químicos que ocurren en los sólidos no cristalinos. Sin embargo, este avance ha sido muy lento, y sólo en las últimas cuatro décadas se han podido llegar a entender, muchas veces de manera parcial, los diversos procesos que regulan sus propiedades. Más aún, el origen de la formación de los vidrios todavía no ha podido ser resuelta de manera satisfactoria, y en palabras de P. W. Anderson, premio Nobel de física, es uno de los dos problemas más importantes de la teoría de sólidos que quedan por resolver (el otro es la explicación satisfactoria de la superconductividad de alta temperatura). La razón de la complejidad del problema es que los vidrios violan la regla fundamental que se menciona en la primera frase de este texto: es decir, los materiales vítreos no están en una configuración de mínima energía; si fuera así, su estructura sería cristalina. Por esta razón, se dice que no están en un estado de equilibrio termodinámico.

Los vidrios se forman al enfriar de manera rápida a una mezcla líquida. Al realizar el enfriamiento, la viscosidad del líquido aumenta hasta cierta temperatura en que deja de fluir. A este proceso se le llama "transición vítrea", y tiene en sí mismo una gran aplicación industrial, dado que se puede moldear el material con la forma deseada, tal y como puede observarse en los talleres artesanales de vidrio, donde los maestros producen formas como botellas y vasos mientras soplan para enfriar a la mezcla. La velocidad de enfriamiento es un parámetro crítico en esta transición. En general, los sistemas pasan por diversas configuraciones estructurales que eventualmente los llevan a minimizar su energía. Al enfriar rápidamente al vidrio, se evita que el sistema tenga tiempo para formar el cristal correspondiente que haría mínima su energía. El vidrio queda "atrapado" en una configuración de la que no puede salir porque se requeriría demasiado tiempo o energía.

Existen diversas controversias acerca de si los vidrios son realmente sólidos, o tan sólo líquidos sobre-enfriados, debido a que en el equilibrio termodinámico deberían ser sólidos. Es sabido que los líquidos fluyen, y de hecho puede medirse su viscosidad, aunque resulte muy alta. Para todo fin práctico, un vidrio puede considerarse como sólido. Esta discusión ha producido un mito muy difundido dentro de la comunidad científica. En diversos libros y cursos se afirma que los vitrales de las catedrales góticas se han ido adelgazando en sus partes superiores porque lentamente fluyen hacia su base. Diversos estudios han mostrado que esto en realidad se debe al proceso utilizado para hacer las láminas de vidrio durante la edad media, y no al carácter "líquido" de los vidrios.

¿Qué ventajas tiene utilizar un material desordenado? La primera es que se puede diseñar el orden atómico local sin las restricciones debidas a la simetría que existen en un cristal Esto permite obtener nuevas configuraciones de enlaces químicos y ordenes locales; así se pueden crear nuevos materiales con propiedades químicas y electrónicas convenientes a una aplicación dada. La segunda ventaja fundamental es de carácter económico; para hacer crecer cristales, normalmente se requiere mucho tiempo y ambientes muy controlados, por lo que el costo es muy alto. Los materiales desordenados se producen de manera muy sencilla y no requieren tanto control durante su manufactura.

Estas ventajas se han traducido en la idea de usar materiales vítreos, como los semiconductores amorfos, para construir circuitos para computadoras y celdas solares mucho más baratas. Éste ha sido un sueño recurrente desde principios de 1970. El desarrollo de estas ideas no había sido posible porque faltaba un adecuado entendimiento teórico. Hoy en día, se acepta que el concepto más importante que ha surgido en este campo es la idea de que las propiedades electrónicas están controladas por centros o regiones activas del material ocupadas por átomos en niveles de energía poco usuales. En otras palabras, la clave del entendimiento radica en la naturaleza de los enlaces químicos y no en la simetría de la red, a diferencia de los materiales periódicos. Más adelante, tendremos oportunidad de analizar con un poco más de detalle el estado actual y el futuro en el siglo XXI de las aplicaciones de los semiconductores amorfos.

Más allá del simple uso de los materiales vítreos como plásticos o vidrios para fabricar artículos de uso común, existen otras aplicaciones menos conocidas que también han tenido un impacto relevante. Un ejemplo de ello son las fotocopiadoras, desarrolladas en la década de los sesenta por la compañía Xerox. Estas máquinas se basan en la propiedad de foto-conductividad de los llamados vidrios calcogenoides (en particular de selenio y compuestos de selenio y arsénico), que consiste en que, al someterlo a la luz y un campo eléctrico, en la superficie del vidrio aparece una carga eléctrica. De este modo, las regiones oscuras quedan sin carga eléctrica, mientras que las iluminadas quedan cargadas, produciéndose una imagen eléctrica del papel a copiar. Posteriormente, esta imagen su usa para fijar el pigmento sobre el papel. Los vidrios metálicos se utilizan como núcleos de transformadores eléctricos, debido a que su falta de simetría interna reduce las pérdidas por corrientes parásitas. Otra aplicación muy reciente y de uso cotidiano son los discos compactos regrabables. En ellos se utiliza directamente una transición entre la fase amorfa y la cristalina del material, producida por un pulso de láser. Debido a que en este proceso no ocurre ninguna difusión, el desgaste de estos discos es insignificante; su vida sólo está limitada por el sustrato sobre el cual se deposita el vidrio calcogenoide. Además, a diferencia de otros medios de grabación, el disco no necesita ser borrado previamente para ser grabado.

Es muy difícil predecir cuales serán los usos de los materiales desordenados y su impacto en la tecnología durante el siglo XXI. Hace cien años, hubiese sido casi imposible realizar tal pronóstico. Tal vez podríamos señalar dos escenarios: uno predecible a corto plazo, digamos unos veinte años, y más allá podríamos especular un poco acerca de las tendencias generales.

A corto plazo, habrá dos presiones que producirán un fuerte impulso en el desarrollo de materiales vítreos. Por un lado, la inevitable subida de precio de los combustibles fósiles, y los costos ecológicos asociados a ellos (calentamiento global, lluvia ácida, etcétera), harán que se busquen nuevas fuentes de energía y maneras para almacenarla. Por otra parte, la constante elevación en las prestaciones de los equipos de cómputo y la necesidad de aumentar la capacidad de transmisión de información hará que se busquen materiales adecuados a la tarea. En el campo de la energía, el avance mas importante será la introducción masiva de celdas solares de silicio amorfo. Aunque, como se dijo previamente, estas celdas empezaron a desarrollarse en los años setenta, su baja eficiencia de conversión de luz a energía eléctrica y sus costos de producción las hacían incosteables. En los últimos dos años, se logró aumentar la eficiencia de la celdas (hoy cercana a 15 por ciento) utilizando capas sucesivas de materiales amorfos con propiedades ópticas diferentes, de modo que se aprovecha mejor la energía aportada por la radiación solar. Recientemente, la compañía estadounidense ECD/United Solar ha puesto a punto una nueva línea de producción continua que rebaja dramáticamente los costos;. Estos avances permitirán que la energía solar sea por primera vez una alternativa viable desde el punto de vista económico.

El agotamiento de los combustibles fósiles también plantea problemas sobre almacenamiento de energía. Se vislumbran dos soluciones posibles: una es el perfeccionamiento de las baterías recargables; la otra consiste en usar hidrógeno. En ambas, los materiales desordenados tendrán un papel relevante. Las propiedades únicas de difusión iónica en los vidrios adicionados con impurezas los hacen candidatos a ser utilizados en baterías de estado sólido con gran capacidad de almacenamiento y bajo peso. En las llamadas celdas de hidrógeno, que combinan aire con hidrógeno para producir energía eléctrica, se pueden alcanzar eficiencias del 50 por ciento, muy superiores al 20 por ciento que se tiene en los automóviles de combustión interna. En la actualidad se piensa que convendría utilizar algún compuesto vítreo de hidrógeno y algún metal como combustible, en lugar del Hidrógeno puro, peligroso de almacenar. Aunque el combustible sería más pesado, la ganancia en seguridad hace pensar seriamente en su conveniencia.

Las aplicaciones en cómputo de los materiales desordenados serán muchas. Por ejemplo, las propiedades electrónicas de los vidrios calcogenoides hacen que el material pueda pasar de aislante a metálico cuando se aplica un campo eléctrico que rebasa cierta intensidad. La velocidad con que ocurre este cambio es muy alta. Este fenómeno se está empezando a utilizar en la construcción de interruptores eléctricos de muy alta velocidad, que podrían tener aplicaciones en circuitos electrónicos, reguladores de voltaje y rectificadores de alta potencia. También se están empezando a construir memorias de tipo permanente que tienen una alta velocidad de lectura. Más aún, se han podido construir memorias tridimensionales. Estos avances hacen pensar en la posibilidad de construir redes que se auto-programen o interconecten su hardware de acuerdo a las necesidades de uso. A largo plazo, podríamos especular acerca de la construcción de computadoras ópticas. Las ventajas de estas máquinas serían muchas: la velocidad de transmisión dentro de los circuitos se haría a la velocidad de la luz, y el consumo de energía sería mucho menor. Tal computadora estaría hecha a base de materiales desordenados como vidrios calcogenoides o silicio poroso, (formado al atacar con ácido a un cristal de silicio).

En un plazo mayor, se podría especular sobre la construcción de computadoras cuánticas, que en principio podrían resolver problemas que resultan intratables en computadoras digitales. Estas computadoras funcionarían utilizando las propiedades cuánticas de la luz, por lo que sería indispensable el uso de elementos ópticos hechos de vidrio. Muy probablemente, las pantallas de estas nuevas computadoras dejarán de ser tubos de rayos catódicos o de cristal líquido; las primeras ocupan un volumen demasiado grande, y las segundas son ineficientes desde un punto de vista energético, además de que tienen una menor definición. Muy probablemente, las nuevas pantallas serán planas pero con una gran definición, y usarán el principio de emisión de campo debido a las propiedades cuánticas de algunos materiales desordenados.

Finalmente, en los últimos años se han hecho descubrimientos muy importantes que harán todavía más eficiente la transmisión de datos; entre ellos están el cambio de la frecuencia de la luz láser mediante efectos no-lineales y el cambio activo del índice de refracción de las fibras ópticas, que permitirán el multiplexado óptico de la información a transmitir, es decir, la transmisión de distintas señales simultáneamente por una misma fibra óptica.

A modo de conclusión, podemos decir que el entendimiento teórico de los mecanismos que operan en los materiales desordenados ha producido un importante impacto en las aplicaciones tecnológicas, aunque la razón de su existencia como materiales aún no ha sido comprendida cabalmente. En este artículo hemos tratado de dar un panorama sobre sus aplicaciones mas recientes, y las ramas en que se vislumbra un mayor desarrollo futuro. Sin embargo, como muestra repetidamente la historia, los avances mas importantes son muy difíciles de prever; pero sin duda en el futuro no dejarán de sorprendernos.

Nombre: Edymar Gonzalez A

C.I: 19.502.773

http://www.fisica.unam.mx/~naumis/index_archivos/ciencia.htm

Publicado en Nature: Observada la transición de superfluido a supersólido en un estado condensado de Bose-Einstein excitada por superradiación

Posted by emulenews en 28 Abril 2010



En 1954, Robert H. Dicke de la Universidad de Princeton, predijo la superradiación: una nube de átomos densa y muy alargada que es excitada con luz emite espontáneamete fotones a la largo del eje mayor de la nube, como un petardo o una bengala encendida en ambos extremos. La luz emitida es coherente, como la de un láser. Este fenómeno se confirmó utilizando condensados de Bose-Einstein (BEC). Ahora, Baumann y sus colegas han repetido este experimento dentro de una cavidad óptica (entre dos espejos) y han demostrado que la superradiación viene acompañada de una ruptura espontánea de la simetríaespacial, que implica una transición de fase de los átomos de un estado superfluido a un estado supersólido. Algo tan sencillo como encerrar el BEC entre dos espejos incrementa la intensidad de la superradiación, gracias al rebote de los fotones emitidos entre los dos espejos de la cavidad. Nos lo cuentan Cheng Chin y Nathan Gemelke, "Quantum physics: Atoms in chequerboard order," Nature 464: 1289–1290, 29 April 2010, haciéndose eco del artículo técnico de Kristian Baumann, Christine Guerlin, Ferdinand Brennecke, Tilman Esslinger, "Dicke quantum phase transition with a superfluid gas in an optical cavity," Nature 464: 1301–1306, 29 April 2010.

Baumann et al. han mostrado que la interferencia entre la radiación incidente y la superradiación produce un conjunto de pozos de potencial a modo de tablero de ajedrez en el que se redistribuyen los átomos del BEC. En función de la fase relativa entre la luz incidente y la superradiación se observan dos modos diferentes en los que se pueden distribuir los átomos en la red cuadrada de pozos de potencial, como muestra la imagen que abre esta entrada. El fuerte acoplamiento entre los fotones y el condensado, según Baumann et al., introduce interacciones a larga distancia entre sus átomos, lo que provoca una transición de fase cuántica de Dicke hasta un estado supersólido. Las transiciones de fase cuánticas, a diferencia de las transiciones de fase convencionales, no son provocadas por cambios en la temperatura, sino por fluctuaciones cuánticas. La explicación detallada del fenómeno observado requiere futuros estudios. La interacción conjunta en un BEC de la superradiancia, la ruptura espontánea de la simetría espacial, una transición de fase cuántica y la supersolidez es fascinante y presagia un futuro muy prometedor en óptica cuántica. Este trabajo ha abierto la puerta al país de las maravillas cuánticas en átomos ultrafríos encerrados en cavidades ópticas.

Nombre: Edymar Gonzalez A

C.I:19.502.773

http://francisthemulenews.wordpress.com/2010/04/28/observada-transicion-superfluido-supersolido-estado-condensado-bose-einstein/

Symmetry and Complexity-Fundamental Concepts of Research in Chemistry

Abstract: Molecules have more or less symmetric and complex structures which can be defined in the mathematical framework of topology, group theory, dynamical systems theory, and quantum mechanics. But symmetry and complexity are by no means only theoretical concepts of research. Modern computer aided visualizations show real forms of matter which nevertheless depend on the technical standards of observation, computation, and representation. Furthermore, symmetry and complexity are fundamental interdisciplinary concepts of research inspiring the natural sciences since the antiquity.

Keywords: molecular structure, symmetry, symmetry breaking, complexity, nonlinearity

1. Molecular Structure in Topology and Quantum Mechanics

The molecular structure hypothesis states that a molecule is a collection of atoms linked by a network of bonds. Since the 19th century the molecular structure hypothesis has been a successful concept of ordering and classifying the observations of chemistry. But this hypothesis cannot directly be derived from the physical laws governing the motions of the nuclei and electrons that make up the atoms and the bonds. It must be justified that all atoms exist in molecules as separate definable pieces of the 3-dimensional ("real") space with properties which can be predicted and computed by the laws of quantum mechanics.

The well-known models of molecules with different information for a chemist are derived from the molecular structure hypothesis: a) The three-dimensional ball-and-stick model with balls for the atomic nuclei, sticks for the atomic bonds and their angles, b) its 2-dimensional representation as structural formula, and c) its 1-dimensional representation as linguistic name which can be derived from the structural formula. Graphic models are applications of mathematical graph theory which is part of combinatorical topology. This mathematical theory became fundamental for chemistry, when in the midst of the last century the molecular structure of chemical substances were discovered (e.g., Biggs et al. 1976, p.55). L. Pasteur recognized that the relationship between symmetry of reflection and optical activity is not a function of the crystal structure of a substance. With certain water-soluble crystals, for example, the symmetry of reflection can be demonstrated both in the solid state and in the liquid state. Pasteur investigated tartaric acid and found a counterclockwise and a clockwise form, which are called L-tartaric acid and D-tartaric acid (D = dextro = right) respectively. He also isolated a third form of tartaric acid (meso-tartaric acid), which cannot be separated into one of the other forms. To explain the optical activity, it was therefore necessary to investigate more fundamental structures than crystals, or even molecules and the orientation of atoms. R.J. Haüy had already suspected that the form of crystals and their constituent components were images of one another. Pasteur therefore inferred the symmetric form of the crystal's components from the crystal reflections.

Another important step was A. Kekulé's investigation of quadrivalent carbon atoms, for whose multiple bonds he also introduced a structural formula notation which is still used in today's organic chemistry. An essential advance occurred in 1864, when the Edinburgh chemist A. Crum Brown introduced his version of the graphic notation. Each atom was shown separately, represented by a letter enclosed in a circle, and all single and multiple bonds were marked by lines joining the circles. Crum Brown's system is more or less the one in use today, except that the circles are now usually omitted. His notation was soon accepted everywhere, after some resistance from Kekulé and others. Its acceptance was partly due to its success in explaining the strange fact that there are pairs of substances which have the same chemical composition, although their physical properties are different. The graphic notation made it clear that this is because the atoms are arranged in different ways in the different substances. This well-known chemical phenomenon is called isomerism, and in many cases there are more than two isomers with the same constitutional formula. In 1874, the great British mathematician A. Cayley wrote a paper 'On the mathematical theory of isomers' inspired by the fusion of chemical and mathematical ideas.

But the experiments of J. H. van't Hoff and J. A. Le Bel were decisive for the assumption of a three-dimensional molecular structure. In 1874, independently of one another, they established a relationship between optical activity and the three-dimensional orientation of atoms. The initial example was the carbon atom, whose four valences were arranged in the form of a tetrahedron. A tetrahedral configuration with the carbon atom in the center makes possible the existence of two different arrangements being mirror images of each other. Tartaric acid has two carbon atoms which are each connected to the atoms or groups of atoms H, C, OH and COOH. For this combination, there are two possible arrangements (L- and D-tartaric acid) which are mirror images of each other and one arrangement (meso-tartaric acid) which is reflective symmetric in itself.

Van't Hoff's stereochemistry regarding the three-dimensional structure of the atom must initially have appeared to be a highly speculative idea, which betrayed a certain proximity to Platonic forms. Kekulé may have been particularly adept at three-dimensional visualization as a result of his prior study of architecture. Simultaneously with stereochemistry, geometry and algebra were also undergoing a fruitful development (Mainzer 1980, p.135). Van't Hoff's success in experimental explanation and prediction made his geometry and algebra of the molecule soon a method accepted by chemists. But it lacked any definitive physical justification. At this stage of development, stereochemistry remains a successful heuristic approach which meets chemists' need for a means by which they can visualize their structural analyses.

From an experimental point of view the shape of molecules can be illustrated by an outer envelope of their electronic charge distributions. These representations are similar to the pictures of atoms which we can today obtain experimentally by the scattering of electrons in super microscopes or from the scanning tunnelling electron microscope. It is the distribution of charge that scatters the X-rays or electrons in these experiments. Thus, it is the distribution of charge that determines the form of molecular matter in 3-dimensional space.

Mathematical methods of differential topology enable us to identify atoms in terms of the morphology of the charge distribution. The charge density r(r) is a scalar field over 3-dimensional space with a definite value at each point. Positions of extrema in the charge density with maxima, minima, or saddles where the first derivatives of r(r) vanish can be studied in the associated gradient vector field Ñr(r). Whether an extremum is a maximum or a minimum is determined by the sign of the second derivative or curvature at this point. The gradient vector field makes visible the molecular graph with a set of lines linking certain pairs of nuclei in the charge distribution.

Local maxima of electronic charge distribution are found only at the positions of nuclei. This is an observation based on experimental results obtained from X-ray diffractions and on theoretical calculations on a large number of molecular systems. Thus, a nucleus seems to have the special role of an attractor in the gradient vector field of the charge density. In short: The topology of the measurable charge density defines the corresponding molecular structure.

In the mathematical framework of dynamical systems theory the global arrangements of molecular forces can be represented by phase portraits with attractors as nuclei and trajectories representing the vector field. For example, Fig. 1 shows maps with nuclei and the symmetric structure of the ethylene molecule. In Fig. 1a only those trajectories are shown which terminate at the position of the nuclei. They define the basins of the nuclear attractors. Fig. 1b includes the trajectories which terminate and originate at certain critical points (denoted by full circles) in the charge distribution. The pair of trajectories terminating at these critical points mark the intersection of an interatomic surface with the plane of the figure. The gradient paths which originate at these critical points and define the bond paths are shown by the heavy lines. Fig. 1c shows a superposition of the trajectories associated with these critical points on a contour map of the charge density. These trajectories define the boundaries of the atoms in the nuclear graph.

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Figure 1: Molecular structures with nuclei as attractors in maps of the gradient vector field of their charge densities (for the plane) (Bader 1990, p. 30).

In general: the molecular graph is the network of bond paths linking pairs of neighbouring nuclear attractors. An atom, free or bound, is defined as the union of an attractor and its basin. Atoms, bonds, and structure are topological consequences of a measurable molecular charge distribution. In a next step, it is necessary to demonstrate that the topological atom and its properties have a basis in quantum mechanics. Topological atoms and bonds have a meaning in real three-dimensional space. But this structure is not reflected in the properties of the abstract infinite-dimensional Hilbert-space of the molecular state function. The state function y contains all of the information that can be known about a nuclear quantum system. From an operational point of view, there is too much and redundant information in the state function because of the indistinguishability of the electrons or because of the symmetry of their interactions. Some of it is unnecessary as a result of the two-body nature of the Coulombic interaction. Thus, there is a reduction of information in passing from the state function in the infinite-dimensional Hilbert space to the charge distribution function in the real three-dimensional space. But, on the other hand, we get a description of the molecular structure in the observable and measurable space.

Quantum chemistry uses several mathematical procedures of approximation to achieve this kind of reduction (e.g., Primas 1983). A well-known approximation is the Born-Oppenheimer procedure which allows a separate consideration of the electrons and nuclei of a molecule. We get the nuclear structure of a molecule which is represented by its structural formula. In order to distinguish the electrons as quasi-classical objects in orbitals, the Hartree-Fock method is sometimes an appropriate approximation for the electronic state function. The electronic charge density r(r,X) with the space vector r of an electron and the collection of nuclear coordinates X can be derived as the quantum mechanical probability density of finding any of the electrons in a particular elemental volume. In the case of molecules in stationary states, the probability density is defined by the stationary-state function y(x,X) depending on the collection x of electronic space and spin coordinates and the collection X of nuclear coordinates (Bader 1990, p.6). This state function is a solution of Schrödinger's stationary state equation for a fixed arrangement of nuclei. The coincidence of the topological definition and the quantum definition of an atom in a molecular structure means that the topological atom is an open quantum subsystem of the molecular quantum system, free to exchange charge and momentum with its environment across boundaries which are defined in three-dimensional real space. In this sense, symmetries of molecules referring to their topological structure are real forms of matter which can be calculated by quantum chemistry.

2. Molecular Symmetry in Group Theory

Quantum chemistry and mathematical group theory are the modern bases of symmetry considerations in stereochemistry. In quantum chemistry the symmetries of molecular systems are represented by the symmetries of the corresponding molecular Hamiltonian operators. In stereochemistry the structure of molecules is classified by the symmetry transformations of point groups (Mainzer 1996, p. 492):

The symmetries of a free molecule can be completely defined by a few types of symmetry transformations. In general, the selection of the three coordinates axes x, y, z is arbitrary. The trivial symmetry transformation is identity I which leaves each molecule unchanged. An additional symmetry element is the axis of rotation C_n around which a molecule can be rotated by the angle 2p/n without changing its position. Linear molecules, in which all atomic nuclei lie on a straight line (e.g. nitrogen NºN or carbon monoxide CºO), can be rotated around the connecting axis by arbitrarily small angles and have a continuous axis of rotation with infinite fold symmetry n ®µ.

An additional symmetry element is the reflection s on a plane in which the molecule does not change its position. For example, if the xy-plane is the plane of reflection, then replacing all the atomic z-coordinates by -z does not change the position of the molecule. Depending on the selection of the plane of reflection, a distinction is made between a vertical plane of reflection s_n and a horizontal plane of reflection s_h.

The next symmetry element is inversion in which a molecule remains unchanged during a reflection of all atomic coordinates (x, y, z) at the point of inversion to (-x, -y, -z). An additional symmetry element is rotary reflection S_n = s_hC_n in which a molecule is first rotated by an angle 2p/n around the rotary reflection axis C_n and is then reflected on the plane s_h perpendicular to C_n through the centre of the molecule, without changing its position.

The remaining symmetry element is rotary inversion in which a molecule does not change its position in spite of rotation followed by inversion. It should also be noted that the compound symmetry transformations of rotary reflection and rotary inversion do not presuppose the partial transformations of rotation, reflection or inversion as symmetry elements of the same molecule. The symmetry transformations of a molecule, when executed one by one, produce symmetry transformations in turn and define as a whole the symmetry structure of the molecule by the mathematical group of these symmetry transformations.

In general, mathematical symmetries are defined by so-called automorphisms that means self-mappings of figures or structures whereby the structure remains invariant (example: rotation or reflection of polygons in the plane). The composition of automorphisms satisfies the axioms of a mathematical group. So the symmetry of a molecular structure is defined by its group of automorphisms. There are continuous groups of symmetries (for instance, circles and spirals) and discrete groups (for instance regular polygons, ornaments, Platonic bodies).

On account of the finite number of combinations of symmetry elements, it is clear that there can only be a finite number of point groups. Thereby many different molecules can belong to the same point group, i.e. they can have the same symmetry structure. The classification of point groups also makes it possible to explain the relationship of optical activity and molecular structure in terms of group theory. According to Pasteur a compound had optical activity, if the molecule in question could not be made to coincide with its reflection. In that case, Pasteur spoke of dissymmetry. Other terms are "enantiomery", which in the Greek translation means opposite shape, or "chirality", which alludes to the left and right-handedness of the reflective orientation. In terms of group theory, it is a matter of determining the elements of symmetry which lead to optical activity. In general, 1) a molecule with any axis of reflection S_n cannot be optically active, and 2) a molecule without an axis of reflection is optically active.

Point groups describe the symmetries of stationary molecules in the equilibrium state. Reduced symmetries may be present in the non-stationary case of translation, rotational motions, oscillations etc. Scalar characteristics such as mass, volume or temperature, which have only an amount but no direction, are apparently independent of the symmetry operations. But characteristics which have not only an amount but also a direction can affect the symmetry.

So far we have discussed the symmetries of the structures of molecular nuclei. What symmetries determine the electron orbitals of the molecules? Molecular orbitals y are frequently introduced by approximation as linear combinations of the atomic orbitals c_i of the individual atoms of the molecule (Linear Combination of Atomic Orbitals = LCAO method) with y = S_i c_i c_i . Kekulé's famous ring structure of benzene provides a clear example of orbital symmetry. The flat molecule C₆H₆ consists of six carbon atoms which form a regular hexagon, and each of which is bonded to a single H atom. Each carbon atom has six electrons, two of which are in closed s-shells, while the others are distributed into s and p orbitals. In Figure 2a, one valence electron of the carbon is required to bond a H atom. Two valence electrons are required for the s-bond between the carbon atoms. The s-bonds are produced by a suitable mixing ('hybridazation') of the s, p_x and p_y atomic orbitals of the carbon (Jaffé, Orchin 1967, p. 89).

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Figure 2: Orbital symmetry of Kekulé's ring structure of benzene (Mainzer 1996, p. 498).

The fourth valence electron corresponds to the p_z orbital, which is above and below the plane with its two dumb-bells, each perpendicular in the nodes of the carbon atom. The p_z orbitals overlap with their respective neighbors and form a p-bond. Figure 2b shows a p-orbital of benzene. In contrast to the s-bond, the p-bond is weak, so that the p-electrons can be easily influenced by extremal forces, and thus determine many of the spectroscopic characteristics of benzene. s and p orbitals of benzene can be distinguished by their symmetry behavior in a reflection on the xy plane. While s orbitals f_s do not change their sign during the reflection z ®-z and are therefore symmetric, antisymmetry occurs with the p orbitals f_p:

f_s(x,y, -z) = f_s(x,y,z) f_p(x,y, -z) = -f_p(x,y,z)

The system of p electrons offers a simplified way to calculate the energy levels of the benzene molecule. In the Hückel model, we first consider p-electrons, since it is assumed that p molecule orbitals are significantly higher in energy than s orbitals and can therefore be considered separately. Calculating y orbitals according to the LCAO method is therefore restricted in the Hückel model to the atomic orbitals c_i which form p-molecular orbitals. That is another major simplification, of course, but one which has proven valuable in actual practice, e.g. in the calculation of benzene orbitals.

The p orbitals of benzene are eigenfunctions of a Hamilton operator of the p-electrons, which is invariant with respect to symmetry operations of the point group D_6h of the regular hexagon with horizontal reflection s_h. Physically, therefore, the potential energy of the p electrons is not changed when the benzene molecule is rotated, e.g. by 60° around the center. The Hückel model and the orbital symmetries thereby assumed are also used to predict chemical reactions, as expressed in the Woodward-Hoffmann rules. One requirement is that the orbital symmetry is conserved during reactions, i.e. the symmetry of all occupied orbitals remains unchanged during the reaction with respect to each symmetry element shared by the reacting and resulting molecules.

In contrast to low-molecular chemistry, high-molecular or macromolecular chemistry is concerned with compounds which are composed of a great many atoms, and therefore have high molecular masses. From the standpoint of symmetry, polymerizations are nothing more than polyadditions of monomers, the structural formulas of which form certain chains like those which are known from the Fries groups. These structural formulas recall the artful friezes in mosques, "structures of altogether unusual simplicity, unity and beauty" (W. Heisenberg). But with regard to the symmetries of the friezes of chemical structural formulas, we have to consider that these are only two-dimensional projections of three-dimensional structures. For crystal polymers in particular, X-ray diffraction spectra reveal stable conformations with well-defined symmetries.

The significance of macromolecules in nature becomes clear when we investigate the structure and metabolism of living organisms. For example, their high molecular masses makes it possible to construct solid and simultaneously flexible structures. On the other hand, their complex atomic structure makes it possible to regulate metabolic processes and to store information. From the standpoint of symmetry, proteins are of fundamental interest. These are macromolecules of many amino acids of 20 different types in nature. Protein analysis shows that amino acids have an antisymmetrical carbon atom and occur only in the left-handed configuration in nature. If we investigate the three-dimensional conformation of various amino acid units in the protein, we encounter a characteristic antisymmetry of the protein, in which the antisymmetry of its components is continued.

L. Pauling, who detected a spiral structure in certain crystal protein fibers, called it a-helix. The a-helix consists of 18 monomer units on 5 revolutions each, which, among other things, are stabilized by intramolecular hydrogen bonds. One of the characteristic symmetry breakings of biopolymers is therefore the fact that proteins in nature only form left-handed spirals. Of course, reflections of the protein components also occur, but they cannot be fitted into the molecular chains of proteins. Certain proteins differ from the regular helix structure. One well-known example is hemoglobin, whose stereochemical structure was reconstructed by the Nobel Prize winner M. Perutz, among others. To be precise, hemoglobin consists of a spherical protein (globin) and a complicated compound of iron (heme) which is not a protein. Hemoglobin is characterized by the double axis of rotation of its molecular chains.

X-ray crystallography now makes it possible to systematically analyze the symmetry structures of crystallized proteins and to explain them in terms of group theory. The mathematical structure of crystals is altogether independent of their physical or chemical interpretation. In biochemistry, atoms are not selected as structural units, but molecules. Since amino acids naturally occur in proteins only as left-handed configurations, certain symmetry elements of crystals which require an equal number of left-handed and right-handed configurations, such as the plane of reflection, glide reflection and center of inversion, are a priori excluded. Mathematically speaking, from the 230 possible crystal groups only the first 65 ones with intrinsic movements remain. These 65 discrete intrinsic motion space groups in which biological macromolecules such as proteins can crystallize are therefore also called "biological" space groups (Mainzer 1996, p.507). They are used in the investigation of enzymes, for example.

Nucleic acids, which are primarily responsible for transmitting characteristics through generations of living organisms show also characteristic symmetry breakings. Nucleic acids are macromolecules which are formed by linear polymerization of certain units (nucleotides). According to the double helix model of J.D. Watson and F.C. Crick, the DNA molecule consists of two strands of DNA which are intertwined in a regular double helix around a common axis. The two strands are parallel, but in opposite directions. The sequence of the bases in the one strand determines the sequence in the other strand, so that an A is always opposite to a T and a G is always opposite to a C. Antisymmetry is of fundamental importance for the transmission of genetic characteristics, which can be explained on the molecular level of DNA helix.

The genetic information of an organism is encoded in its set of chromosomes (genome) in the form of DNA. The mechanism of reproduction, which makes possible a clear duplication (replication or reduplication), can be illustrated very clearly: An enzyme enables to break the hydrogen bonds separating the double helix into two strands. Each strand reproduces its exact opposite, to which it is reconnected by hydrogen bonds, thereby forming a new double helix. On account of the complementary base pair formation of A-T and C-G, which is expressed in three dimensions in the twisting of the double helix, the accuracy of the copy is guaranteed even after many reproductions. If the two strands were orientated parallel and symmetric to one another like a ladder, then the accuracy of the reproductive process would not be guaranteed, with disastrous consequences for the respective organisms. This case demonstrates that antisymmetry or parity violation can have a decisive biological function.

In general, the symmetry of reflection (inversion) means that right-handed and left-handed structures of chiral molecules can be distinguished in space. But energetically they seem to be completely equivalent. It was van't Hoff who found the geometrical explanation of chiral and optically active molecules. Mathematically we can use coordinate systems with right and left orientation to distinguish both forms of chirality. In quantum chemistry the symmetry of chirality is represented by a quantum number ('parity') with two possible values +1 for positive parity and -1 for negative parity.

But the symmetry of chirality is violated by observations and measurements in the laboratories of biochemists. Macromolecules like, for instance, L-amino acids or D-sugars which are building blocks of living systems possess a characteristic homochirality or dissymmetry. Sometimes enantiomers (i.e. the reflections of isomers) can be distinguished by simple tests of taste: S-asparagin has a bitter taste, while R-asparagin has a sweet taste. We can perceive this kind of symmetry breaking, because our body is a handed (chiral) biochemical system. In the 19th century Pasteur already presumed that living systems are characterized by typical dissymmetries of their molecular building blocks which have emerged during biological evolution (e.g., Pasteur 1861). Then the handed receptor molecules of our taste organs fit the chiral forms of the tasted molecules such as the right or left hand fits the right or left glove. But it cannot be explained why the actual molecular form of symmetry breaking was realized during the evolution and why the other form was unable to survive.

As usual in classical physics, the two stable enantiomers can be illustrated by two minima of a symmetric potential curve V(q) where q is the reaction coordinate for the chemical transformation of the molecular substituents. Mathematically the potential curve of the reaction equation is assumed to be completely symmetric with respect to inversion. There are three solutions as equilibrium points with the two stable minima of the left- and right-handed forms and an unstable solution of a symmetric achiral form. The symmetry is broken by the actually realized stable form with respect to peculiar supplementary conditions.

In quantum chemistry the framework of classical physics must be replaced by the principles of quantum mechanics. Molecular states are described by wave functions which can be superposed as pure entangled states according to the superposition principle. Thus for every temperature and energy there is not only the possibility of chiral molecules with either a left- or a right-handed form, but also a third possible form which is both left- and right-handed. Spontaneous symmetry breaking in quantum chemistry can be introduced by superselection rules forbidding the symmetric achiral superposition states which can be realized by a special physico-chemical environment (e.g. certain radiation fields).

The classical and quantum mechanical concept of spontaneous symmetry breaking can only explain that a chiral molecule must emerge under some supplementary conditions. But it cannot explain why the actual form was realized instead of the other possibility. An explanation has been suggested with respect to the parity violating weak interaction which can be evaluated at least numerically in chiral molecules. In case of parity (P)-symmetry the right- and left-handed forms would be energetically exactly equivalent, transformed into each other by inversion. But parity was violated by the symmetry breaking of weak interaction during the cosmic evolution. Thus, if the parity violation can be measured by a small energy difference DE_PV, we get the non-equivalence of the two isomers or enantiomers which are no longer simple mirror images of each other. The corresponding potential curve is no longer symmetric, but the two minima differ with the energy difference DE_PV. Obviously the chemical law itself is no longer symmetric (Quack 1993, p. 469). Then the actually realized forms of chiral biomolecules can be explained by their greater stability with respect to the parity violating energy. The emergence of a chemical phenomenon is reduced to a physical symmetry breaking.

Of course, these energy differences in molecules are extremely small. Even if these differences increase proportionally during polymerization, they still remain very small under laboratory conditions. But in evolution, nature itself was the laboratory. For amino acids, for example, we can accurately calculate the prebiotic evolutionary conditions in which homochirality can be selected, e.g. in a lake with a certain volume of water and over a certain period of time. These calculations are based on an ab initio method (Hartree method) of numerical quantum chemistry, which currently has the best claim to accuracy. Therefore homochiral biochemistry can be interpreted as a direct result of the parity violation of weak interaction.

Pasteur's suspicion of a universal dissymmetrical force in nature is therefore reasonable, at least in terms of quantum chemistry. We could go even further and classify the chirality of biomolecules in a sequence of symmetry breakings which took place in the cosmological growth of the universe. Elementary particle physics intends to unify all the known physical interactions by deriving them from one interaction scheme based on a single symmetry group. Physicists expect to arrive at the actually observed and measured symmetries of fundamental forces and their elementary particles of interaction by spontaneous symmetry breaking processes. Electromagnetic and weak forces could already be unified by very high energies in the laboratories of high energy physics (for instance the accelerator ring of CERN). That means that at a state of very high energy the particles of weak interaction (electrons, neutrinos, etc.) and electromagnetic interaction cannot be distinguished any longer. They can be described by the same symmetry group U(1) x SU(2). At a particular critical value of lower energy the symmetry breaks down in two partial symmetries U(1) and SU(2) corresponding to the electromagnetic and weak force.

The most successful method to achieve this kind of spontaneous symmetry breaking is provided by the Higgs' mechanism. After the successful unification of electromagnetic and weak interaction physicists try to achieve the big unification of electromagnetic, weak and strong forces (GUT), and in a last step the superunification of all four forces. There are several research programs of superunifications such as supergravity and superstring theory. Technically the unification steps should be achieved along growing values of very high energy. Mathematically they are described by extension to richer structures of symmetry (gauge groups). On the other hand, the variety of elementary particles is actualized by spontaneous symmetry breaking. The emergence of weak interaction with its particular violation of parity was a result of cosmic symmetry breaking during the expansion of the universe. "C'est la dissymétrie qui crée le phénomène", said Pierre Curie (Curie 1894).

3. Molecular Complexity in Dynamical Systems Theory

Besides spatial symmetries chemists are involved in the fundamental problems of time symmetry. While the laws of classical physics and quantum chemistry assume symmetry with respect of time inversion, the factual chemical reactions in the laboratories proceed only in one direction to the chemical equilibrium. Chemical processes are irreversible. Their reversion seems to be unnatural. It is a question of current research, if the violation of time inversion can be experimentally observed for isolated quantum systems in analogy to the parity violation of isolated chiral molecules.

Since Boltzmann's statistical interpretation of the 2nd law of thermodynamics, irreversible processes have been discussed for complex molecular systems like gases, fluids, etc. The 2nd law states that closed systems irreversibly approach the thermal equilibrium of maximal entropy. It is remarkable that I. Prigogine explains the irreversibility of dissipative processes far from thermal equilibrium by a universal symmetry breaking of time. Time has now the status of a mathematical operator which only allows physically asymmetric states. While the spontaneous symmetry breaking of elementary particles in high energy physics assumes the symmetry of its laws with respect to unitary (gauge) groups, Prigogine's time operator delivers (non-unitary) semi-groups representing both directions of time (Nicolis, Prigogine 1989). The 2nd law of thermodynamics is a kind of selection principle for the realized symmetry breaking process. In short: The law itself has become asymmetric.

The emergence of dissipative structures far from thermal equilibrium is an irreversible process of symmetry breaking which can be geometrically illustrated by a bifurcation scheme (Mainzer 1997). In other words: The bifurcation tree of a dissipative system represents the growth of forms in an irreversible time direction. Chemical reactions provide paradigmatic cases of complex dissipative systems. In the Belousov-Zhabotinsky reaction, for instance, the forms of concentric rings or moving spirals appear when specific chemicals are poured together at a critical value. The competition of separated ring waves shows the nonlinearity of these phenomena very clearly, because in cases of a superposition or linearity the ring waves would penetrate each other like optical waves. The BZ-reaction is not only an example of a time symmetry breaking process, but a space symmetry breaking, too. The kinetic laws of chemical reactions in a (in principle unlimited) medium are invariant with respect to the group of all translations, rotations, and reflections.

In the framework of dynamical systems theory, this kind of space and time symmetry breaking refers to phase transitions of complex open (dissipative) systems far from thermal equilibrium. Macroscopic patterns ('attractors') arise from the nonlinear interactions of microscopic elements (i.e. atoms, molecules) when the energetic and material interaction of the dissipative (open) system with its environment reaches some critical value ('dissipative self-organization'). Phase transitions of closed systems near to thermal equilibrium are called conservative self-organization creating ordered structures with low energy at low temperature. A physical example of conservative self-organization is provided by a ferromagnet consisting of very many atomic elementary magnets. At a temperature T greater than a critical value T_c , these magnets point to random directions. When T is lowered, suddenly at T = T_c , a macroscopic number of these elementary magnets become aligned. The ferromagnet undergoes a spontaneous magnetization. In Landau's theory of phase transition, the average distribution of upwards and downwards pointing (average magnetization) is the order parameter of the complex system whose temporal dynamics can also be modelled by the spontaneous symmetry breaking of a bifurcation schema. Another example is the growth of crystals by annealing the system to a critical value of temperature.

In supramolecular chemistry, conservative self-organization plays a tremendous role (Müller et al. 1996). In this case molecular self-organization means the spontaneous association of molecules under equilibrium conditions into stable and structurally well- defined aggregates with dimensions of 1-100 nanometers (1 nm = 10^-9 m = 10 Å). Nanostructures may be considered as small, familiar, or large, depending on the view point of the disciplines concerned. To chemists, nanostructures are molecular assemblies of atoms numbering from 10³ to 10⁹ and of molecular weights of 10⁴ to 10¹⁰ daltons. Thus, they are chemically large supramolecules. To molecular biologists, nanostructures have the size of familiar objects from proteins to viruses and cellular organelles. But to material scientists and electrical engineers, nanostructures are the current limit of microfabrication and thus are rather small.

Nanostructures are complex systems which evidently lie at the interface between solid-state physics, supramolecular chemistry, and molecular biology (Mainzer et al. 1997). It follows that the exploration of nanostructures may provide hints about both the emergence of life and the fabrication of new materials. But engineering of nanostructures cannot be mastered in the traditional way of mechanical construction. There are no man-made tools or machines for putting together their building blocks like the elements of a clock, motor, or computer chip. Thus, we must understand the principles of self-organization which are used by nanostructures in nature. Then, we only need to arrange the appropriate constraints under which the atomic elements of nanostructures associate themselves in a spontaneous self-construction: The elements adjust their own positions to reach a thermodynamic minimum without any manipulation by a human engineer.

Historically, the idea of supramolecular interactions dates back to the famous metaphor of Emil Fischer (1894), who described a selective interaction of molecules as the lock and key principle. Today, supramolecular chemistry has by far surpassed its original focus. Molecular self-assemblies combine several features of covalent and non-covalent synthesis to make large and structurally well-defined assemblies of atoms. Single van der Waals interactions and hydrogen bonds are weak relative to typical covalent bonds and comparable to thermal energies. Therefore, many of these weak non-covalent interactions are necessary in order to achieve molecular stability in self-assembled aggregates. In biology, there are many complex systems of nanoscale structures such as proteins and viruses which are formed by self-assembly. Living systems sum up many weak interactions between chemical entities to make large ones. How can one make structures of the size and complexity of biological structures, but without using biological catalysts or the informational devices coded in genes?

Many non-biological systems also display self-organizing behavior and furthermore provide examples of useful interactions. Molecular crystals are self-organizing structures. Liquid crystals are self-organized phases intermediates between crystals and liquids with regard to order. Micelles, emulsions, and lipids display a broad variety of self-organizing behavior. An example is the generation of cascade polymers yielding molecular bifurcational superstructures of fractal order. Their synthesis is based on the architectural design of trees. Thus, these supramolecules are called dendrimers (from the Greek word dendron for tree and polymer). The construction of dendrimers can follow two basically different procedures. Divergent construction begins at the core and builds outward via an increasing number of repeating bifurcations. Convergent construction begins at the periphery and builds inward via a constant number of transformations. The former displaces the chemical reaction centers from the center to the periphery, generating a network of bifurcating branches around the center. The bifurcations increase exponentially up to a critical state of maximal size. They yield fractal structures such as molecular sponges which can absorb smaller molecules, which can then be dispersed in a controlled way, e.g. for medical applications.

Examples of cave-like supramolecules are the Buckminsterfullerenes, forming great balls of carbon atoms. The stability of these complex clusters is supported by their high geometric symmetry. The Buckminsterfullerenes are named after the geodesic networks of ball-like halls which were constructed by the American architect Richard Buckminster Fuller (1895-1983). The cluster C₆₀ of 60 carbon atoms has a highly Platonic symmetry of atomic pentagons forming a completely closed spheroid.

Cave-like supramolecules can be arranged using chemical templates and matrices to produce complex molecular structures. Several giant clusters comparable in size to small proteins have been obtained by self-assembly. Figure 3 shows a ball-and-stick model of the largest discrete cluster (700 heavy atoms) ever characterized by X-ray structure analysis. This cluster containing 154 molybdenum, 532 oxygen, and 14 nitrogen atoms has a relative molecular mass of about 24 000. The highly symmetric "big wheel" was synthesized by Achim Müller and co-workers (Müller et al. 1995). Giant clusters may have exceptional novel structural and electronic properties: There are planes of different magnetization which are typical for special solid-state structures and of great significance for material sciences. A remarkable structural property is the nanometer-sized cavity inside the giant cluster. The use of templates and the selection of appropriate molecular arrangements may well remind us of Fischer's lock and key principle.

Figure 3: Supramolecular cluster in a ball-and-stick representation as an example of a complex near-equilibrium system (Müller 1995, p.2293)

Molecular cavities can be used as containers for other chemicals or even for medicaments which need to be transported within the human organism. An iron-storage protein that occurs in many higher organisms is ferritin. It is an unusual host-guest system consisting of an organic host (an aprotein) and a variable inorganic guest (an iron core). Depending on the external demand, iron can either be removed from this system or incorporated into it. Complex chemical aggregates like polyoxometalates are frequently discovered to be based upon regular convex polyhedra, such as Platonic solids. But their collective electronic and/or magnetic properties cannot be deduced from the known properties of these building blocks. According to the catch-phrase "from molecules to materials" supramolecular chemistry applies the "blue-prints" of conservative self-organization to build up complex materials on the nanometer scale with novel catalytic, electronic, electrochemical, optical, magnetic and photochemical properties. Multi-property materials are extremely interesting.

4. Molecular Symmetry and Complexity as Technological and Philosophical Perspectives of Research

The growth of modern natural science is characterized by increasing mathematization and computerization. After physics in the 17th and 18th century, chemistry has been involved in that process at the latest since the 19th century. In a famous quotation Kant (1786) stated that without mathematical laws chemistry could only be a collection of experimental rules ('Experimentallehre') and no science ('Wissenschaft'). Since Kant's time the degree of mathematization in chemistry has completely changed. But there is not only an application of mathematical methods which are well-known from physics. Specific topics of chemical research has been developed with specific mathematical methods and models.

In the first chapter, I started with molecular models as typical topics of chemical research and applications of mathematical graph theory since the 19th century. A physical justification of molecular models is suggested in quantum chemistry. Furthermore, quantum chemistry provides computational procedures for chemical features which are correlated to specific molecular structures. Symmetry, dissymmetry and asymmetry are essential properties of molecular structures which are analyzed in mathematical group theory. The formation of very complex molecular systems has tremendous importance for biochemistry with the exploration of living processes and for supramolecular chemistry with the technical development of new materials. These phase transitions can be modelled in the theory of complex dynamical systems, which is a rapidly growing discipline of modern mathematics. The mathematical topology of molecular structures allows algorithmic procedures to compute correlated chemical features. But modern computer science does not only provide increasing capacities of computation, but also new insights of chemical research. Computer aided molecular design, for example, is a technique that enables chemists to simulate the structure, behavior, and interactions of molecules on computers, in order to design new drugs, chemicals, and materials such as plastics and ceramics and to test them in computer experiments.

Molecular models are typical topics of chemical research and applications of combinatorical topology and graph theory in mathematics. They correspond to, what I call, the 'structural view' of modern mathematics. Topology and group theory are typical mathematical disciplines which allow to classify molecular structures and their correlated chemical properties (e.g., symmetries of crystals, chirality of biomolecules, topological indices).

Chemistry does not only explore static structures, but dynamic processes like chemical reactions as applications of kinetic equations. They correspond to what I call the 'dynamical view' of applied mathematics. In complex molecular systems chemical interactions may be highly nonlinear and need very sophisticated mathematical instruments such as the theory of complex dynamical systems, bifurcation and chaos theory, or fractal geometry. Their application indicates a clear tendency of research from the chemistry of molecules to a chemistry of complex molecular systems. At the frontiers of modern chemistry to biology, medicine, and material sciences the dynamics of complex molecular systems plays a dominant role.

The prediction or determination of chemical events and properties needs highly developed computational procedures of numerical mathematics, approximation and algorithmic theory. Remember the ab initio computations in quantum chemistry. Theses applications correspond to, what I call, the 'numerical view' of applied mathematics. Today, the numerical procedures become more and more efficient by the increasing capacities of computer technology, for example, the power of massively parallel computers.

However, chemistry is not only interested in numerical procedures, but also in the construction of three-dimensional geometric models and the derivations of linguistic terms such as chemical formulas. Today, these activities can be assisted and even simulated by knowledge based expert systems, three-dimensional computer aided molecular design (CAMD)-programs and computer aided knowledge processing of AI-programs. Models, structures, dynamical equations, numerical, graphical and symbolic processing are combined and converted to computer programs. I call this aspect of modern computer mathematics the 'program view'. There is a clear tendency of research in all natural sciences that the traditional experiment in the laboratory is assisted by computer experiments. They are not only supplementary visualization. Their programs provide strategies to refine scientific conceptions and to focus the research in a productive manner. They help to prevent and to select less productive, expensive, or even dangerous experiments in the laboratory. But, of course, research cannot do without lab experiments, inspiring and confirming research.

The epistemic perspectives of the structural, dynamical, numerical, and program view demonstrate some typical topics of chemical research. Furthermore, they indicate changing research tendencies. Frontiers between the disciplines are removed or even broken down and new topics emerge. Chemistry is involved in a growing network of mathematical methodologies and computer-assisted technologies with increasing complexity. Thus, chemistry is a science in the sense of Kant, but with dynamically changing frontiers.

But molecular symmetry and complexity are by no means only theoretical concepts of mathematical methodology. Since the antiquity the structure of matter and the whole universe was represented by regular and symmetric models. In Platonic chemistry the variety of mathematical phenomena were reduced to the regular bodies of Euclidean symmetry. In Greek astronomy celestial movements were described by models of rational symmetry. Since the 19th century symmetries are not only defined as properties of geometric models, but as properties of physical and chemical structures, too. In this sense, symmetry means the invariance of a chemical structure with respect to spatial or time coordinates. The growths of new complex chemical structures can be understood as phase transitions close to or far from thermal equilibrium which often means symmetry breaking of spatial or time order.

In this sense, symmetry and complexity are fundamental concepts of chemical research which refer to observable and measurable features of matter. They are by no means only models in the head of a human chemist or in the virtual reality of a computer. The symmetries or dissymmetries of complex atomic structures obtained experimentally by the scattering of electrons in super microscopes or from the scanning tunnelling electron microscope can be observed by everyone. As once the Aristotelian opponents of Galileo, one could object that there might be only some effects in the measuring instruments causing our impressions. Of course, our knowledge of molecular structures depends on our technical standards of measurement, observation and theoretical representation. In the case of molecular structures, these effects are well-known. Thus, molecular structures are as real as Galileo's craters on the moon. In the antique-medieval philosophy of 'hyle', we can summarize these results of modern chemistry in the following way: Forms, more or less symmetric and complex, are 'in rebus', although we can only construct representations 'in mente'.

Nombre: Edymar Gonzalez A

C.I:19.502.773

http://www.hyle.org/journal/issues/3/mainzer.htm